Per scrivere le formule utilizziamo la notazione di Mathematica:

Integrate[1/(Exp[x]+3),x]

Moltiplichiamo numeratore e denominatore dell'integrando per Exp[x]:

Integrate[Exp[x]/(Exp[2*x]+3*Exp[x]),x]

Poniamo: y=Exp[x] => dy=Exp[x]*dx. Quindi:

Integrate[1/(y^2+3*y),y]

Decomponendo in frazioni semplici:

1/(y^2+3*y)=A/y+B/(y+3)

da cui: A=1/3, B=-1/3

integrando e ripristinando la variabile x:

Integrate[1/(Exp[x]+3),x]=(1/3)*(x-Log[3+Exp[x]]) + C